求圆的半径

(资料图)

已知一个直角三角形ABC，∠C=90°，AB=13， BC=12，点 M在直角边AC上，且是一个圆的圆心，该圆同时与BC和AB相切，求这个圆的半径。

解：方法1

如图设点N是圆M在AB上的切点，

由于相切，显然MN=MC=r,

这样三角形MNB和三角形MCB是全等的，

所以∠MBC=∠MBN

因此BM是∠ABC的角的平分线，根据角的平分线定理(参见角平分线定理及其证明)有：

AM/MC=BA/BC

在直角三角形ABC中， 根据勾股定理，可以求出AC=5， 将BA=13， BC=12 带入上面的等式：

（5-r）/r=13/12

由此解出r=12/5

方法2：

根据上面全等三角形可知，

BN=BC=12， 所以

AN=AB-BC=13-12=1

此外，根据勾股定理AC=5，

可以利用相似三角形，

因为∠A是公共角，∠NAM=∠ACB=90°

所以三角形ANM相似于三角形ACB，因而：

MN/AN=BC/AC

即

r/1=12/5

因此

r=12/5

注：解法1是非常简单的方法，而且角的平分线定理应用场景较多。

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